Un proceso estocástico es una entidad matemática utilizada para representar la evolución de un sistema con el tiempo gobernado por leyes probabilísticas, en lugar de reglas deterministas. A diferencia de una única variable aleatoria, lo definimos fundamentalmente como una colección de variables aleatorias $\{X_n : n \in T\}$ indexadas por el tiempo. En esta lección, nos enfocamos en el Caminata Aleatoria Simple (CRS)—un modelo de tiempo discreto que simula la fortuna de un jugador, comenzando desde un valor inicial ($a$) y avanzando mediante apuestas independientes.
1. Los Mecanismos de una Caminata Aleatoria Simple
Expresamos el estado de la caminata en el tiempo $n$ como la suma de incrementos independientes:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
donde cada $Z_i$ representa el resultado de una apuesta: $+1$ (ganancia) con probabilidad $p$, y $-1$ (pérdida) con probabilidad $q = 1-p$.
Sea $\{X_n\}$ una caminata aleatoria simple. Si $k$ es un entero tal que $-n \leq k \leq n$ y $n + k$ es par, entonces la probabilidad de estar en el estado $a+k$ después de $n$ pasos es:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
Error Crítico: Para todos los demás valores de $k$ (donde $n+k$ es impar o $|k| > n$), $P(X_n = a + k) = 0$. Esta "comprobación de paridad" garantiza que solo puedas alcanzar ciertos estados basándote en el número de pasos dados.
2. Esperanza y Equidad
La trayectoria promedio del proceso depende de la probabilidad $p$. El valor esperado en el tiempo $n$ viene dado por:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- Juego Justo ($p = 1/2$): El proceso es un Martingala. En promedio, la fortuna permanece constante: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$.
- Juego Subfavorable ($p < 1/2$): El proceso se desplaza hacia abajo hacia la ruina.
- Juego Súper Favorable ($p > 1/2$): El proceso se desplaza hacia arriba.
3. El Panorama Más Amplio
Mientras que la CRS trata con sumas discretas, los procesos estocásticos también incluyen modelos continuos. Por ejemplo, el Proceso de Poisson ($N_t$) presenta incrementos independientes donde $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$. También observamos estas dinámicas en distribuciones objetivo para muestreo MCMC, como $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$. Estos procesos suelen utilizar notación de transición como $v_1 = v_0 A$.